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law01094的博客

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剩余定理  

2011-04-23 16:43:37|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一、中国剩余定理的由来


  我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。


  二、“中国剩余定理”算理及其应用


  明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:

  三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,

  七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。

  歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:70×2+21×3+15×2-105×2=23

  为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。


  三、“中国剩余定理”的应用


  主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期:余同取余,和同加和,差同减差”以外的余数问题的题目。

  例1、一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

  A、81  B、34  C、128  D、103

  【答案】B 解析:本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

  为了使20被3除余1,用20×2=40;

  使15被4除余1,用15×3=45;

  使12被5除余1,用12×3=36。

  然后,40×1+45×2+36×4=274。

  因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。所以选择B选项。

  例2、一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?

  A、53  B、34  C、128  D、73

  【答案】A 解析:本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

  为了使56被3除余1,用56×2=112;

  使24被7除余1,用24×5=120。

  使21被8除余1,用21×5=105;

  然后,112×2+120×4+105×5=1229。

  因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。所以选择A选项。

  例3、一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。

  A、24  B、46  C、299  D、73

  【答案】C 解析:本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

  为了使88被5除余1,用88×2=176;

  使55被8除余1,用55×7=385;

  使40被11除余1,用40×8=320。

  然后,176×4+385×3+320×2=2499。

  因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。所以选择C选项。

  例4、有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?

  A、95  B、116  C、99  D、302

  【答案】D 解析:本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

  为了使35被9除余1,用35×8=280;

  使45被7除余1,用45×5=225;

  使63被5除余1,用63×2=126。

  然后,280×5+225×1+126×2=1877。

  因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数,所以选择D选项。

  【例题】根据下列表格资料,回答1~5题。

 
2001~2005年东北地区电子制造业的生产统计表


指标名称

2001年

2002年

2003年

2004年

2005年

科技活动经费投入强度(%)

2.5

2.8

3.1

3.8

4.1

科研经费投入强度(%)

1.1

1.1

1.3

1.6

2.0

技术引进与消化吸收经费比例(%)

1.5

1.4

1.3

1.3

1.5

研发人员比例(%)

0.6

0.6

0.8

0.6

0.9

微电子控制设备占固定资产比重(%)

5.7

8.1

9.9

8.8

8.5

专利申请数(件)

5232

5779

7279

11139

20474

专利授权数(件)

2643

3856

5447

6054

8838


 

  1.2005年比2003年的科技活动经费投人强度高多少?(  )
  A.32%        B.45%        C.2.3%        D.4.1%


  2.哪一年科研经费的投入强度最高?(  )
  A.2001年    B.2003年     C.2004年     D.2005年


  3.哪一年产业关键技术水平最高(产业关键技术水平与微电子控制设备占固定资产比重正相关)?(  )
  A.2001年    B.2003年     C.2004年     D.2005年


  4.2005年东北地区电子制造业专利授权率较2003年低多少个百分点?(  )
  A.43.2      B.74.8        C.26.9       D.31.6


  5.如果“创新活力一专利申请数+授权数”,则哪一年的创新活力最强?(  )
  A.2001年    B.2003年     C.2004年     D.2005年

 

 

 

 


  【解析】


  1.A 。(4.1-3.l)÷3.l×100%≈32%,故正确答案为A。


  2.D。根据表格资料,2001年到2005年的科研经费的投入强度分别为:1.1%,1.1%,1.3%,1.6%,2.0%。所以,2005年科研经费的投入强度最高。


  3.B。微电子控制设备占固定资产比重越高,产业关键技术水平越高,而根据统计表,2001年到2005年的微电子控制设备占固定资产比重分别为:5.7%,8.1%,9.9%,8.8%,8.5%,所以,2003年的产业关键技术水平最高。故选B。


  4.D。2005年专利授权率为8838÷20474×100%≈43.2%,2003年专利授权率为 5447÷7279×100%≈74.8%,两者之差约为31.6个百分点,故本题正确答案为D。


  5.D。因为“创新活力一专利申请数+授权数”,2001~2005年该地区电子行业的创新活力分别为 7875,9635,12726,17193,29312,所以2005年的创新活力最强。故选D。

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